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基础解系的线性无关性

来源:www.baibaitrade.com 时间:2024-06-10 04:30:47 作者:绸缪基础网 浏览: [手机版]

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基础解系的线性无关性(1)

引言

在线性代数中,基础解系是非常重要的概念来自www.baibaitrade.com。它是解齐次线性程组的一组基础解,也就是说,它可以通过线性组合得程组的所有解。而基础解系的一个重要性质就是线性无关性,也就是说,基础解系中的向量是线性无关的。本文将从几何和代数两个角度探讨基础解系线性无关的原因。

几何角度

  我们首先从几何角度来基础解系线性无关的原因。考虑一个程组Ax=0,其中A是一个m×n的矩阵,x是一个n维向量来源www.baibaitrade.com程组的解可以作是向量x在A的空间中的投影。而空间就是A的所有列向量的线性组合为的向量组成的空间。因此,我们可以将基础解系作是空间的一组基底。

那么为什么基础解系是线性无关的呢?我们可以从图形上来理解。假A的列向量在三维空间中,那么A的空间就是一个经过原点的平面欢迎www.baibaitrade.com。而基础解系就是这个平面的法向量。由于这些向量是相垂直的,因此它们是线性无关的。这也可以通过向量的点积来明,即基础解系中的任意两个向量的点积

代数角度

我们接下来从代数角度来基础解系线性无关的原因。考虑一个程组Ax=0,其中A是一个m×n的矩阵,x是一个n维向量绸.缪.基.础.网。我们可以将A进行列变换,将其化为一个简化阶梯形矩阵B。此时,程组的解可以表示为Bx=0。

  我们知道,对于一个矩阵B,它的列向量可以分为两类:主列和自由列。主列是矩阵B中的列向量,它们对应的是程组的基础解系。自由列是矩阵B中的列向量,它们对应的是程组的自由变量baibaitrade.com。由于自由变量可以任意值,因此自由列可以通过主列的线性组合得。也就是说,自由列是主列的线性组合。

  那么为什么基础解系是线性无关的呢?我们可以通过反法来明。假基础解系中的向量是线性相关的,那么存在一组不全为的系数,使得这些向量的线性组合为。而这些向量对应的列向量在矩阵B中就是主列,因此这些系数也可以用来表示自由列的线性组合绸~缪~基~础~网。但是,由于自由变量可以任意值,因此这些系数不可能全为,这就与假矛盾了。因此,基础解系中的向量是线性无关的。

基础解系的线性无关性(2)

总结

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